LA FUSÉE EN VOL BALISTIQUE


 

Ceci est la version ‘‘Zéro’’ de ce texte : faites nous l’honneur de vos remarques, aussi bien sur le fond que sur la forme. Songez que si la critique est aisée, elle n’en est pas moins très utile !. Dans le fait, elle ne doit pas être si aisée puisqu’elle demeure très rare : elle n’en vaut que plus !

Le document de Gil Denis, Le vol de la fusée, disponible sur le site Planète-Sciences , ainsi que le travail de Fred Cerutti, La chute de la fusée ,  nous permettent d’avancer un peu plus dans la compréhension du vol vertical d’une fusée, spécialement dans sa phase balistique, càd lorsque la poussée de son moteur a pris fin et qu’elle se comporte comme un projectile.

Mais qu’est-ce qu’un projectile ? : Un projectile est un objet massique [1] animé d’une certaine vitesse et uniquement soumis à l’action de l’atmosphère et de la pesanteur. Projectile est de la famille du verbe projeter.

Lorsque l’on cherche à déterminer par le calcul la trajectoire d’un objet projeté dans l’atmosphère avec une certaine vitesse initiale (ce peut être un caillou, un ballon, un obus, ou une fusée lorsque ses moteurs se sont éteints), on est amené à regrouper un ensemble de paramètres caractérisant cet objet ainsi que l’atmosphère traversée par lui. Ce regroupement donne le coefficient balistique, qu’on note b, et qui s’écrit :

  b = ½ ρ  S Cx / M     où l’on lit :

ρ , la masse volumique de l’atmosphère traversée.

S, le section frontale de l’objet (voir la note plus bas)

Cx, le coefficient de Traînée de l’objet, rapporté à (voir la note plus bas)

M, la masse de l’objet.

Dans cette réflexion, nous considérerons que le produit S.Cx de l’objet demeure constant durant le vol. Cela suppose, soit que cet objet est stabilisé [2] , soit qu’il est de forme sphérique [3] …

Tous les autres paramètres étant également considérés comme constants pendant la durée du phénomène étudié…[4]

Ajoutons que nous contenons cette réflexion dans le domaine subsonique, càd en dessous de 800 Km/h…  est-ce le bon chiffre ? 

Note sur le Cx et la Surface Frontale :

On peut rapporter le Cx à n’importe quelle section. Mais il faut se souvenir qu’à l’origine de toute déclaration de Cx il y a toujours la mesure, en soufflerie, du produit global SCx, quotient de la Traînée de l’objet par la Pression Dynamique (1/2 ρ V²) générée au point d’arrêt par l’écoulement… Ce produit SCx représente donc la Surface Frontale Équivalente de l’objet, mais S et Cx n’y sont jamais identifiés… En général, les fuséistes rapportent le Cx à la section frontale maximum du fuselage seul (càd sans prendre en compte dans cette section les diverses protubérances de ce fuselage ni surtout la section frontale des ailerons d’empennage). Le fait de faire toujours référence à cette seule section du fuselage facilite en fait la comparaison entre les fusées de même « gabarit », ou même entre les différentes évolutions d’un même projet…

Quel que soit le choix que l’on fait pour la surface de référence S, ce qui compte, de toute façon, c’est que le produit SCx donne bien la valeur de Traînée donnée par les tests en soufflerie de la fusée complète, càd le quotient de la Traînée de l’objet par la Pression Dynamique (1/2 ρ V²) générée par l’écoulement…

Cette notion de Cx est donc à la fois très floue et très précise (le produit SCx étant connu avec précision d’après les essais en soufflerie). Certains auteurs conseillent de ne jamais dissocier le produit SCx : c’est tout à fait raisonnable si l’on veut échanger des informations sans risques d’erreurs… En tout état de cause, il est nécessaire de toujours préciser la section à laquelle est rapporté le Cx, afin que dans le calcul de la Traînée on puisse reconstituer ce couple que la nature a uni indissociablement…

Historiquement, ce sont les artilleurs[5] qui ont isolé ces paramètres : ils cherchaient à quantifier l’efficacité de leurs boulets de canons (en particulier leur propriété de conserver le plus longtemps possible la vitesse acquise à la sortie du canon, propriété dont découle leur efficacité destructrice ainsi que leur portée). Les S, Cx et M leur sont évidemment apparus comme les paramètres conditionnant l’efficacité de leurs projectiles.

Les scientifiques ont ensuite rajouté à la liste de ces paramètres la masse volumique de l’air traversé, ρ , ainsi que le coefficient ½, pour raison de compatibilité avec l’ensemble des autres phénomènes aérodynamiques par eux étudiés.

Accessoirement, le fait que le coefficient balistique b fasse référence à ρ  permet, si on le désire, d’étendre les lois dégagés pour des projectiles aériens à des projectiles se déplaçant dans les autres milieux (comme l’atmosphère d’autres planètes, l’eau, le vide, etc).

Hauteur d’apogée

En tant que fuséistes, nous nous intéressons, bien sûr, aux performances de nos engins et en premier lieu à l’altitude qu’ils sont susceptibles d’atteindre. Dans toute cette étude, nous ne nous ne considèrerons que les vols verticaux ou pouvant leur être assimilés.

Le Vol de la Fusée formule comme suit l’altitude d’apogée atteinte par une fusée[6] en phase balistique verticale (càd après la fin de sa phase propulsive) : Cette altitude d’apogée vaut :

(Équation classique 10)

  Ha = HFinProp + (1/2b) Ln[(1 + (b/g)VFinProp² ]

   où :

Ha est l’attitude d’apogée

HFinProp est l’altitude de fin de propulsion

b est le coefficient connu sous le nom de Coefficient Balistique et déjà présenté plus haut.

VFinProp est la vitesse de fin de propulsion, càd la vitesse initiale de la phase balistique qui nous concerne.

Il est cependant possible de présenter plus intuitivement cette formule. Mais pour ce faire, il convient de faire deux constatations :

La première constatation est que la quotient 1/b  qui multiplie le Ln (et qui vaut 1/(½ ρ S Cx / M), soit 2M/ ρ S Cx )  a la dimension d’une longueur. Il le faut bien puisque le Logarithme Népérien est une fonction sans dimension et que le produit de 1/b par ce logarithme doit donner une quantité homogène à la hauteur d’apogée…  [7]

Comme cette longueur1/b est un propriété du mobile considéré et du milieu qu’il traverse, nous allons l’appeler Distance Balistique [8] de ce mobile dans le milieu traversé [9] :

Db = 1/b = 2M/ρ S Cx  

 

À quoi peut bien correspondre cette Distance Balistique ? C’est ce que nous tenterons de dire un peu plus loin… Mais d’ores et déjà, nous pouvons remarquer que cette distance est représentative du ralentissement que subira le mobile du fait de sa traversée du milieu ambiant, et ceci sans référence à une quelconque gravitation.

La deuxième constatation est que b/g est le carré de l’inverse de la Vitesse Limite de chute Vlim.

En effet, on sait par expérience (et après lecture de Chute de la Fusée de Fred Cerutti) que tout mobile abandonné à l’action de la pesanteur finit par atteindre au bout d’un certain temps sa Vitesse Limite de chute (ou vitesse ce chute stabilisée). Ainsi, la Vitesse Limite de chute d’un pratiquant de la Chute Libre (on devrait évidemment dire Chute Aérienne) avoisine les 200 Km/h… Pareillement, la Vitesse Limite d’une boule de polystyrène de 60 mm de diamètre tourne autour du m/s… à vérifier  

Or cette Vitesse Limite correspond à la vitesse telle que la Traînée du mobile équilibre parfaitement le poids de ce mobile (ces deux efforts étant dirigés l’un vers le haut, la Traînée, l’autre vers le bas, le poids).

Cette égalité (qui n’est atteinte théoriquement qu’au bout d’un temps infini) s’écrit :

Mg = ½ ρ  S Cx Vlim² 

Ce qui permet d’écrire :

Vlim² =  Mg /½ ρ  S Cx

Or nous avons dit que b = ½ ρ  S Cx / M

 

Ceci entraîne que :

Vlim² = g/b = g Db

 

La Vitesse Limite de chute Vlim  est donc :

Vlim = √[g/b]

Ou, si l’on préfère :

Vlim = √ [g Db]

 

Si nous replaçons ces valeurs 1/b = Db  et Vlim² = g/b dans l’équation (10) , nous obtenons une écriture beaucoup plus parlante de la hauteur d’apogée :

(Équation 20)

  Ha = HFinProp + (Db/2) Ln[(1 + VFinProp²/ Vlim²] 

 avec :

Ha l’attitude d’apogée

HFinProp l’altitude de fin de propulsion

-Db  est cette Distance Balistique dont nous suggérons l’utilisation, Distance balistique dont la valeur n’est autre que 1/b , avec b = ½ ρ  S Cx / M, ou, directement, Db  = 2M/ ρ  S Cx

VFinProp est la vitesse de fin de propulsion, càd la vitesse initiale de la phase balistique qui nous intéresse.

Vlim est la Vitesse Limite ou vitesse de chute stabilisée du mobile, vitesse dont la valeur est √(g/b).

Mais si l’on préfère caractériser le mobile par un critère unique (la Distance Balistique), cette équation (20) peut aussi s’écrire :

(Équation 21)

  Ha = HFinProp + (Db/2) Ln[(1 + VFinProp²/g Db] 

 

Rappelons que si Db est une caractéristique du mobile dans le milieu traversé et remarquons que Vlim est une caractéristique de ce même mobile dans le milieu traversé et sur notre planète. [10] 

 

Commentaire sur cette hauteur d’apogée

On peut remarque en observant l’équation (21) et plus facilement l’équation (10) que dans le terme (Db /2) Ln[(1 + VFinProp²/g Db] le paramètre Db agit deux fois, mais chaque fois dans un sens différent : Il ne faut donc pas s’attendre à ce qu’une augmentation de la Distance Balistique produise un effet proportionnel sur l’altitude d’apogée…

Néanmoins, l’évolution de ce terme (Db /2) Ln[(1 + VFinProp²/g Db]  est toujours positive lorsque la Distance Balistique augmente…

Dans le cas où la Distance Balistique devient très grande, càd que S ou Cx tendent vers zéro ou encore que M tend vers l’infini [11], la Vitesse Limite devient également très grande. On peut alors remarquer en reprenant l’équation (21) :

 

Ha = HFinProp + (Db/2) Ln[(1 + VFinProp²/g Db]

 

… que, puisque le Logarithme tends vers celui de 1, on a :

  Ha ≈ HFinProp + (Db/2)VFinProp²/g Db    [12] ,

soit :

Ha  HFinProp +VFinProp²/2g

 

ce qui correspond tout à fait à la relation entre la vitesse et la hauteur atteinte dans un mouvement uniformément accéléré (càd sans influence de la Traînée)… [13]   

Si, inversement, la Vitesse Limite tend vers zéro, càd que le Distance Balistique tend vers zéro (b tendant vers l’infini) (cas de la plume), on voit que l’altitude d’apogée tendra vers :   à redémontrer !!  

Ha = HFinProp 

 

Mais nous reviendrons plus loin sur tout ceci…

 

 

À quoi correspond la  « Distance Balistique » ?

 

Nous avons déjà dit que cette distance est représentative du ralentissement que subira le mobile du fait de sa traversée du milieu ambiant, et ceci sans référence à une quelconque gravitation : En effet, cette distance serait la même dans une bulle d’atmosphère terrestre satellisé autour de notre planète. Également, la notion de Distance Balistique est tout à fait valide dès lors que la gravité terrestre est compensée : soit par la portance archimédienne (sous-marins, dirigeables) soit par la réaction verticale du plan d’évolution (véhicules dont les forces de roulement peuvent être considérées comme négligeable, comme dans le cas de trains roulant sur le plat). De même, lorsque l’action de la pesanteur est très brève et normale au plan général du déplacement du mobile, l’utilisation de la notion de Distance Balistique est tout à fait recevable : nous retombons là dans le domaine de l’artillerie militaire, où le ralentissement des tirs horizontaux est fonction de notre Distance Balistique… [14]

Comme on ne peut pas faire référence à une quelconque gravitation pour l’interprétation de la Distance balistique, on ne peut non plus évoquer à cet effet une quelconque portée maximum (par exemple la distance maximum que pourrait parcourir le mobile s’il était projeté d’une façon optimum) : cette portée est en effet dépendante de la pesanteur et s’en trouve, par exemple, multipliée par 6 à la surface de la Lune.

Comme en l’absence de gravité toutes les trajectoires des projectiles deviennent rectilignes, l’interprétation de la Distance Balistique ne peut donc résider que dans la manière dont ces projectiles décrivent cette trajectoire linéaire… Et la manière de décrire une droite est tout à fait représentée par la manière dont la vitesse du mobile évolue au long de cette droite…

Valeur analytique de la Distance balistique :

Le Vol de la Fusée, de Gil Denis, nous indique, p 57, la façon de résoudre l’équation du vol balistique :

Il fait remarquer que le vol balistique suit la loi d’accélération :

dV/dt = -(bV² + g)

et propose alors de s’affranchir de la référence au temps en posant dt = dz/V  , (puisque V = dz /dt , V étant la vitesse instantanée).

La loi d’accélération devient alors :

V.dV/dz = –(bV² + g)

Intéressons-nous à présent à un vol balistique non subordonné à la gravité terrestre (mais se déroulant quand-même dans l’atmosphère [15]). Nous devons retirer g de l’équation précédente. Il reste :

V.dV/dz = –bV²

ce qui peut se recomposer sous la forme :

dV/V = –bdz

L’intégration de cette équation est une intégration remarquable :

∫dV/V = –(b) ∫ dz

Elle donne :

[Ln(V) –Ln(V1)] = –(b) [z – z1]

 

(si l’on appelle  z1 et V1 distance et vitesse de fin de propulsion, càd les conditions initiales de notre mouvement balistique)

On a donc la valeur de la distance parcourue depuis la fin de propulsion :

[z – z1] = (1/b) Ln(V1/V)

Si à présent on prend comme origine des distances le point de Fin de Propulsion (pour un obus, c’est le point où il sort du canon, pour un projectile en général, c’est le point où il a acquis sa vitesse de projection) on peut écrire :

Z = (1/b) Ln(V1/V)

 

ou encore, puisque 1/b est notre Distance Balistique = Db = 2M/ ρ S Cx :

Z /Db = Ln(V1/V)

 

Cette équation équivaut, on le sait à :

Exp(Z /Db) = V1/V

 

Soit encore :

(Équation 30)

V = V1.e –(Z /Db)   

V1 est la vitesse du projectile à l’origine des distances (dans notre cas particulier, V1 n’est autre que VFinProp)… 

 

 

Observons alors ce qui se passe lorsque Z = Db . Dans ce cas l’équation (30) s’écrit :

V = V1.e –1 

soit : V = V1/e

 

Nous venons ainsi d’établir que lorsqu’un projectile non soumis à la gravité a parcouru sa Distance Balistique dans une atmosphère, sa vitesse a été divisée par e . [16]  [17]

On peut donc définir la Distance Balistique comme la distance qu’il faut à un projectile pour que sa vitesse soit divisée par e = 2,7183

 

Pourquoi ce nombre e ? :  Parce que la Nature l’a voulu, nous semble-t-il… Au reste, cette constante e apparaît de la même façon dans les formules décrivant un certain nombre de phénomènes physiques. Ainsi l’évolution de la température d’un corps dissipant ses calories dans le milieu ambiant dessine également une exponentielle décroissante. La décharge d’un condensateur se produit de même selon une décroissance exponentielle. En fait, toute variable dont le taux de variation est proportionnel à cette variable elle-même évolue selon une courbe exponentielle. [18]        

Remarque : On aurait pu songer à nommer la Distance Balistique « Distance de Ralentissement Atmosphérique Type » (DRAT).

Détermination expérimentale de Db : La Distance balistique des véhicules peut être déterminé par l’expérience (dans les cas, évidemment, où l’on peut négliger les autres facteurs de ralentissement) par la formule Db = Z /Ln(V1/V) : Il suffit de noter la distance Z que met un mobile à réduire sa vitesse de V1 à V. On pourra tenter ce calcul sur le plat pour les automobiles et pour les trains [19] , du moins lorsque leur ralentissement se produit à haute vitesse. Leur Cx pourra ainsi être approché…

Ne pourrait-on pas donner quelques exemple (TGV, voiture, dirigeables)

Par exemple, passer de130 Km/h à 78,85Km/h doit se faire, pour une voiture, en la 1/2 Db… Ce qui donne la Db

 

Abaque donnant l’altitude d’apogée

 

L’équation (20) étant connue, il est aisé de construire la famille de courbes donnant l’Altitude selon la Distance Balistique pour une gamme de Vitesse de Fin de Propulsion.

Ci-dessous, nous avons tracé, pour simplifier, l’Altitude Balistiquement Gagnée (càd gagnée du fait de l’inertie de la fusée depuis son Altitude de Fin de Propulsion).

La verticale rouge représente la Distance Balistique d’une fusée à eau type de 1,5L, 100g et dotée d’un Cx de 0,4. [20] 

Comme la Distance Balistique est fonction de la Masse à Vide, du Cx et de la section frontale [21] , on peut songer à dresser également une famille de courbes donnant la Distance Balistique selon la Masse à Vide pour différent Cx, et ceci pour un diamètre de fuselage correspondant, par exemple, au diamètre d’une bouteille standard de 1,5L.

Cette famille de courbe étant dessinée (elle est constituée de droites), on pourra réutiliser le graphe précédent pour déterminer l’Altitude Balistiquement Gagnée selon la Vitesse de Fin de Propulsion de la fusée. Un exemple d’utilisation de cette méthode graphique est donné ci-dessous par le tracé rouge : celui ci prend sa source à 0,1 Kg, qui est une masse tout à fait classique pour une fusée de 1,5L.

On voit alors qu’une fusée à eau type de 100g de Masse à Vide et de 0,4 de Cx (Cx rapporté à la section frontale du seul fuselage) possède une Distance Balistique de 74,5m . De ce fait, elle atteint balistiquement une altitude de 49,45m sur l’inertie d’une Vitesse de Fin de Propulsion de 45 m/s.

Ci dessous un collage des deux graphes groupés

Attention, le Saut de page est nécessaire pour renvoyer à plus loin le Paragraphe « Abaques des temps de montée et de retour au sol  ». Il n’agit pas sur l’image qui suit, mais lui fait « de la place »…


Note sur la Masse à Vide  Optimum

Considérons une fusée à eau donnée. Imaginons que nous augmentions sa Masse à Vide en la dotant simplement d’un lest supplémentaire :

èCe surcroît de masse va évidemment diminuer la Vitesse de Fin de Propulsion de la fusée, puisque celle-ci oppose plus d’inertie à la poussée durant toute la phase propulsive.

èMais on sait par ailleurs qu’une augmentation de la Masse à Vide augmente la Distance Balistique d’un engin, c’est à dire sa capacité à fendre l’air ambiant sur une plus longue distance.

De fait, l’Altitude Balistiquement Gagnée, tirée de l’équation (21), et qui s’écrit :

HBalGagn = (Db/2) Ln[(1 + VFinProp²/g Db] 

… croît bien avec la Distance Balistique Db , du moins à Vitesse de Fin de Propulsion égale (c’est ce que transcrivent les graphes ci-dessus) [22] .

L’augmentation de Masse à Vide d’une fusée produit donc deux effets antagonistes…

Qu’en sera-il vraiment, alors, de l’altitude d’apogée atteinte ?

Nous avons calculé sous Excel cette Altitude Balistiquement Gagnée, sur la foi de notre travail La Propulsion de la Fusée à Eau qui propose l’adaptation à ces fusées à eau de la fameuse formule de Tsiolkovski. [23]

Le graphe ci-dessous montre bien, qu’il existe une Masse à Vide pour laquelle l’Altitude Balistiquement Gagnée est plus importante que pour les Masses à Vide attenante. [24]

Les courbes y représentent les Altitudes Balistiquement Gagnées par une fusée  type de 1,5 L selon sa Masse à Vide, pour les trois Cx de 0,3 , 0,4 et 0,5 , ceci d’une part pour la pression minime de 5b relatifs (c’est le jeu le plus bas de courbe bleues, tracées sans marques) et d’autre part pour la forte pression de 8 b relatifs (c’est le jeu le plus haut de courbes, de mêmes couleurs, mais comportant des marques rondes)… [25]

Le tracé jaune correspond toujours à notre fusée à eau type de 100g de Masse à Vide et de 0,4 de Cx.

Dans cette plage de masse de 50g à 150g , pour une pression de 5 b la variation de l’altitude atteinte est donc de moins de 10 m  , mais cette variation d’altitude dépasse 15 m pour 8 b relatifs (soit 17%)…

De plus, on peut remarquer que pour cette dernière forte pression la masse optimum se situe plus à droite sur la graphe, et ceci d’autant plus que le Cx est mauvais (càd grand)…

D’une façon générale d’ailleurs, moins la fusée est pénétrante (Cx plus grand) plus son optimum de Masse à Vide est élevé : on peut alors penser qu’elle gagne à accumuler de l’énergie cinétique par sa masse plutôt que de brûler la même énergie en pure vitesse, et ceci malgré l’effet négatif de la gravité sur la même masse. Mais, dans le domaine des fusées, il ne convient pas de se référer à cette notion d’Énergie Cinétique qui n’est en rien une constante de ce mode de propulsion (notre tableur indique bien qu’elle varie avec la Masse à Vide). La notion à utiliser serait plutôt la notion d’Impulsion, produit de la Masse à Vide de la fusée par la Vitesse de Fin de Propulsion. Nous voyons en effet que pour des Masses à Vide de 90 à 110 g, cette Impulsion demeure quasiment constante à 0,64 % près (ceci pour une Pression Initiale donnée). L’Impulsion s’échelonne ainsi pour les différentes Pressions Initiales :

0,195 kgm/s pour 5 b relatifs

0,214 kgm/s pour 6 b relatifs

0,231 kgm/s pour 7 b relatifs

0,247 kgm/s pour 8 b relatifs

La loi d’évolution de cette Impulsion selon la Pression Initiale est donc assez peu différente de :

Impulsion = (0,0167*Pinit+0,1062)

l’Impulsion étant exprimée en kgm/s

et Pinit en b relatifs   [26] 

Remarquons, pour revenir au graphe ci-dessus que le hasard veut que pour les lancements en milieu scolaire (qu’on limite à 5 b relatifs pour des raison de sécurité) la masse type de 100g ne soit pas un mauvais compromis, même si une Masse à Vide de 89 g ferait gagner quelques décimètres…

Voici à présent un graphe donnant la Masse à Vide optimum d’une fusée de 1,5L [27], selon son Cx et pour les différentes pressions usuelles.

Ci-dessous, les chiffres des Db sont dessinés dans Word . Ne rien bouger !

50 m

75 m

125 m

100 m

 

Nous avons également représenté sur le graphe la famille de courbes donnant la Distance Balistique, profitant du fait que celle-ci trace des droites en fonction de Masse à Vide et Cx… [28] .

Le tracé jaune représente encore une fois notre fusée à eau type de 1,5L, 100g et Cx 0,4 (pour un diamètre de 83mm). Cette fusée type montre bien ici une Distance Balistique de près de 75 m

Si l’on désire connaître à quelle altitude monte une fusée de Masse à Vide optimum, on peut se référer au graphe ci-dessous. Il est toujours établi pour une fusée à eau de 1,5 L, de 83mm de diamètre, lancée avec un tiers d’eau [29]  :

Ci-dessous, les chiffres des MàVOpt sont dessinés dans Word . Ne rien bouger !

100g

110g

120g

80g

70g

90g

 

Nous avons pu tracer en violet les Masses à Vide optimums donnant ces altitudes optimales. Elles sont étiquetées en g.

Le segment vertical jaune au bas de l’axe de Y représente toujours notre fusée à eau type de 0,4 de Cx, lancée à 5 bars relatifs, mais, afin qu’elle puisse entrer dans le monde idéal de ce graphe, sa masse a due être optimisée (à 73g)

Abaques des Temps de Montée et de Retour au Sol :

La formule donnant le temps de montée à culmination est donné par le Vol de la Fusée (à partir de l’instant et de l’altitude de Fin de Propulsion). Si on appelle tBalCulm (Temps balistique de culmination) ce temps de montée depuis l’altitude de Fin de Propulsion on a :

tBalCulm = Racine(Db/g) . ArcTg[Racine(1/Db.g).VFinProp] 

 

Il nous est donc facile de dresser l’abaque donnant ce Temps Balistique de Culmination :

Le Temps de Redescente depuis l’apogée jusqu’au sol est donné, quant à lui, par Fred Cerutti dans son texte Chute de la Fusée. En effet, le temps nécessaire pour la fusée à retomber d’une altitude Z est :

t = RACINE[Db/g] Ln{e(Z/Db) + RACINE[e(2Z/Db)-1]}

On peut alors demander à notre Tableur de donner à Z la valeur de l’Altitude Balistiquement Gagnée (déjà calculée à l’instant) augmenté, pour mieux coller à la réalité, d’une estimation de la Hauteur de Fin de Propulsion. Nous avons pris ici le parti que cette Altitude de Fin de Propulsion est de 3 m … [30] . D’autres calculs la placerait à un peu plus de 2 m [31], mais cette variation est de peu d’importance et compte pour moins de 5/100ème de seconde sur l’ensemble de conditions usuelles de lancements…

Ne pas bouger le graphe ci dessous : la ligne rouge et un rectangle occultant les termes TRaS dans le nom des courbes est rajoutée dans Word ! Visible uniquement en mode Page !

Le temps de retombée d’une fusée à eau type de 1,5L, 100g possédant un Cx de 0,4 et projetée à la Vitesse de Fin de Propulsion de 40 m/s est alors de 3,4’ alors que son temps de monté en phase balistique était donné pour 2,7’ par notre abaque précédent. Cette inégalité est typique de l’effet de ralentissement atmosphérique sur la fusée : la fusée monte toujours plus vite qu’elle redescends…

Ce Temps de Redescente jusqu’au sol étant connu, on aurait tort de ne pas l’ajouter au Temps Balistique de Culmination. Cela donne, à un dixième près pour une fusée à eau type    [32], le temps total du vol, temps qu’il est convenu d’appeler le Temps de Retour au Sol  ou TRaS [33]  si Fred a corrigé son texte, supprimer cette note ! :

La verticale rouge représente toujours la Distance Balistique de notre fusée à eau type de 1,5L, 100g et Cx = 0,4

Nous avons évoqué pour l’exemple le cas d’une fusée à eau type dont la propulsion prend fin à 3 m (accessoirement au bout d’1/10ème de seconde), mais ce graphique vaut évidemment pour toutes les fusées : il donne le temps de vol balistique depuis l’Altitude de Fin de Propulsion jusqu’à 3 m en dessous de cette altitude au retour… Ainsi pour une propulsion prenant fin à 6,50 m, par exemple, ce graphe donnera le temps exact de vol depuis la Fin de Propulsion jusqu’à 6,50 – 3 = 3,50 m avant le sol.

Valeur de l’Altitude Balistiquement Gagnée d’après le TRaS

Si, en utilisant les chiffres des tableaux précédemment établis pour les graphes précédents, on a l’idée de collecter les chiffres de l’Altitude Balistiquement Gagnée [34] en référence au Temps de Retour au Sol appelé ici (TRaS – ~ 0,1’’) [35] , ceci pour les mêmes plages de Distances Balistiques et de Vitesses de Fin de Propulsion que nous explorons depuis le début, on a la merveilleuse surprise suivante : La loi donnant l’Altitude Balistiquement Gagnée par rapport au (TRaS – ~ 0,1’’) est, à très peu près, indépendante de la Vitesse de Fin de Propulsion.

Sur le graphe, en effet, on reconnaît bien les couleurs habituellement dévolues à nos différentes Vitesses de Fin de Propulsion, mais ces couleurs se chevauchent en une sorte d’arc-en-ciel :

C’est inespéré !

Nous venons de découvrir un point de vue d’où l’on peut observer la galaxie de nos fusées (et même de tous les projectiles) sur la tranche ! En effet, le sandwich de courbes de toutes les couleurs que dessine le graphe ci-dessus représente bien toutes les configurations de lancements possibles [36] , càd toutes les Distances Balistiques et toutes les Vitesses de Fin de Propulsion !… [37] 

Entendons nous bien : Une fusée d’une Distance Balistique donnée (35 m, par exemple) et animée d’une Vitesse de Fin de Propulsion de 65 m/s atteindra toujours une altitude plus importante que si elle était animée d’une Vitesse de 40 m/s ! : On peut s’en assurer dans l’exemple ci-dessous où nous n’avons gardé que ces deux courbes extrêmes des Vitesses de Fin de Propulsion 40 et 65 m/s, en y précisant les valeurs extrêmes (35 et 200) des Distances Balistiques. On y remarque que la courbe orange est effectivement située plus haut et plus à droite que l’autre.

Ce qui se passe donc est que les binômes (Altitude Balistiquement Gagnée et (TRaS – ~ 0,1’’ ) de toutes les fusées possibles dessinent des courbes qui sont situées très près les unes des autres (ainsi, on voit qu’il y a moins de 2 mètres entre les deux courbes extrêmes ci-dessus). [38]

Cette compression des courbes les unes sur les autres nous autorise donc à proposer une courbe qui les remplace. Cette courbe donnera l’Altitude Balistiquement Gagnée [39] selon le (TRaS – ~ 0,1’’). Elle s’écrit :

HBalGagn = 0,95 .(TRaS – ~ 0,1’’)2,1 

… et est représentée par les ronds jaunes ci-dessous :

 … Si on le désire, on peut proposer également la courbe du second degré ci-dessous (en carrés violets) :

 

HBalGagn = 1,22 .(TRaS – ~ 0,1’’) 2 – 3  

Comme on le voit, ces deux équations donnent de bons résultats à quelques mètres près (ronds jaunes et carrés violets couvrent moins de 2 m d’altitude). La précision du pronostic d’altitude est donc de 2 % [40]  .

C’est une magnifique propriété dont la découverte est à mettre sur le compte du hasard…

Comparaison avec la balistique d’un objet non soumis au freinage atmosphérique :

Ces deux proposition d’équations sont bien sûr à rapprocher immédiatement de l’équation énonçant l’altitude d’un corps abandonné à la seule gravité (donc sans freinage atmosphérique) :

Z   = ½ g t²

 

Dans cette hypothèse, un corps tombant d’une hauteur ZAp rencontre donc le sol au bout d’un temps tAp tel que :

ZAp = ½ g tAp²

De même, si, à présent, il est projeté verticalement en l’air jusqu’à l’altitude Zap , il retombera en un temps total de vol de Tv = 2 tAp (sa trajectoire est symétrique du point de vue des hauteurs, des vitesses et accélérations).

La culmination de ce corps projeté verticalement respecte donc la loi :

ZAp = ½ g (Tv/2)²

 

soit :

 

ZAp =( g Tv²) / 8

… ce qui équivaut numériquement à :

ZAp = 1,226 .T 

…valeur qui doit être comparée à notre équation du second degré :

HBalGagn = 1,22 . (TRaS – ~ 0,1’’)² – 3 )

 

 

Ceci étant, on peut chercher à affiner la comparaison en notant qu’on a retiré le ~ 0,1’’ du temps de propulsion au TRaS sur nos abaques alors que ce dixième n’est pas décompté dans l’équation ZAp = 1,226 .T . Pour corriger cette erreur, on doit poser que Tv = (TRaS – ~ 0,1’’) + ~ 0,1’’ .On arrive alors, pour une valeur moyenne du (TRaS – ~ 0,1’’) de 7,5’’à la valeur de ZAp :

ZAp = 1,226 .TRaS² + ~1,84.

… formulation qui s’éloigne quelque peu de la proposition que nous avons déduite de notre abaque. On ne peut pas gagner à tout coup…

Le grand Dean Wheeler, dans son texte Analytical equations for water-rocket motion, propose la formule simplifiée suivante, qui donne pour les fusées à eau la hauteur d’apogée :

ZAp = 1,23 TRaS² – 0,5(HfinProp+3)

Ce qui, puisque, ainsi qu’il le dit HfinProp est la plupart du temps de 3m, se simplifie pour les fusée de 1,5L plein goulot en :

Zap = 1,23 TRaS² –3

Nous le rejoignons donc dans ces chiffres…

Il est légitime de penser que, de plus, la formulation de Dean Wheeler est éclairée par l’expérience. Mais nous montrerons plus loin qu’elle calque aussi de façon très satisfaisant avec les lois (pourtant complexes) de la balistique.

Commentaire sur cette régression du couple (Altitude-Temps) à celui du vol sans atmosphère :

Fred Cerutti me signale que cette assimilation de l’Altitude Balistiquement Gagnée à la valeur ( g Tv²) / 8 s’appelle la formule de Littlewood . Elle est également évoquée par le grand Dean Wheeler dans ses textes Retrouver ses termes !.      

Cette assimilation est encore plus justifiée pour les projectiles de Grande Distance Balistique :

Si l’on calcule en effet l’écart entre le temps de vol d’un projectile non soumis à freinage atmosphérique (soit ZAp =( g Tv²) / 8 )  et le temps que passe une fusée au dessus de son Altitude de Fin de Propulsion (appelons ce temps TRAFP [41] ), on obtient la famille de courbe suivante :

On vérifie bien que cet écart en temps (déjà faible pour une fusée à eau type) se réduit encore avec l’augmentation de la Distance Balistique [42] .

Il est clair que lorsque la Distance Balistique devient très grande (atmosphère très ténue ou projectile très dense ou très profilé) cet écart s’approche de la nullité…

Notons que si les vols sans et avec freinage atmosphérique donnent quasiment les mêmes valeurs d’altitude d’apogée et de temps de vol (de TRAFP, plus exactement), la Vitesse Initiale du vol sans freinage atmosphérique ne peut être la même que la Vitesse de Fin de Propulsion qui projette la fusée et qui est à l’origine de son freinage atmosphérique.

Si l’on cherchait, en effet, à représenter les deux vols sur un graphe Altitude Instantanée selon Temps [43] , on obtiendrait des profils ressemblant à :

–pour le vol sans freinage atmosphérique la courbe bleue ;

–pour le vol avec freinage atmosphérique une courbe assez similaire à la courbe violette :

Persuadons-nous d’emblée que ces deux courbes ne sont pas les représentations ‘‘photographiques’’ des vols : De telles représentations se fonderaient sur des courbes Altitude selon Déplacement au sol et non, comme ici, selon le Temps [44]) .

Aux alentours de la culmination, on peut deviner que les deux courbes sont superposables (la violette étant simplement décalée vers la gauche).

On doit par contre constater, toujours au vu du graphe ci-dessus, que la vitesse initiale du vol avec freinage atmosphérique est plus forte que celle du vol sans atmosphère (puisque la pente des courbes représentent la vitesse des déplacements verticaux, et non l’angle de tir sur l’horizontale ).

Au reste, la Vitesse de Fin de Propulsion nécessaire à la projection à 81,5 m d’une fusée à eau type de 75 m de Distance Balistique, comme ici, n’est pas 40 m/s mais 76 m/s .

D’une façon générale, la Vitesse de Fin de Propulsion nécessaire à projeter une fusée à une Altitude Balistiquement Gagnée donnée est, selon sa Distance Balistique  [45]  :

Attention, barre de racine dessinée !:

VFinProp = g.Db. (e(2HBalGagn/Db) – 1)

Note : on peut également se souvenir que g.Db vaut Vlim² et donc présenter cette équation sous la forme :

Attention, barre de racine dessinée !:

VFinProp = Vlim . √e(2HBalGagn/Db) – 1

Voici la courbe de cette Vitesse de Fin de Propulsion (en m/s) nécessaire pour gagner balistiquement les 81,5 m d’altitude du graphe précédent. On voit que, pour de faibles Distance Balistique du projectile (càd lorsque ce projectile n’est ni dense ni profilé), cette vitesse devient astronomique (ou plutôt logarithmique)…

L’asymptote violette représente la Vitesse Initiale permettant de projeter un objet pesant non soumis au freinage atmosphérique à la même altitude de 81,5m.

Attention : trait rouge dessiné ! :

À cet égard, le graphe donnant la même vitesse de Fin de Propulsion nécessaire pour qu’une fusée à eau type se hisse balistiquement jusqu’à l’altitude de 200 m est particulièrement parlant : la vitesse requise dépasse pas la vitesse du son (plaçons celle-ci à 360 m/s) [46]  :

Ce graphique illustre assez le mur atmosphérique sur lequel nos fusées peuvent buter…

On peut remarquer quand-même que, pour des fusées allongées tel que LaBulle en présente sur Techno-Challenge, càd des fusées de même SCx mais de masses multipliées 2, 3 ou quatre fois, la Vitesse de Fin de Propulsion requise se rapproche à nouveau de celle que la tenue en pression rend possible… [47]

Vitesse de Fin de propulsion nécessaire pour que la fusée atteigne balistiquement une altitude égale à sa Distance Balistique

Nous avons fait observer très tôt dans ce texte que le terme ½ ρ S Cx / M était une longueur, longueur que nous avons nommée Distance Balistique. Il est utile de remarquer ici que c’est justement des hauteurs de l’ordre de cette Distance Balistique qu’atteignent les fusées à eau (du fait de leurs faibles moyens de propulsion) Vérifier si c’est également le cas pour micro et minifusée !.

Il peut être révélateur, dans ces conditions, de déterminer alors la vitesse VFinProp nécessaire pour que l’Altitude Balistiquement Gagnée soit égale à Db .

Pour ce faire, on peut poser Ha = Db dans l’équation (20) qui devient :

Db = Hfinprop + (Db/2) Ln[1 + VFinProp²/ Vlim²] 

d’où l’on peut tirer que la vitesse VFinProp qui permet à la fusée de monter balistiquement à une altitude égale à sa Distance Balistique est :

Attention, barre de racine dessinée !:

VFinProp = Vlim e(2 – 2Hfinprop/Db) – 1

Remarquons que dans les cas usuels de fusées à eau, HFinProp est souvent beaucoup petit devant Db. Si l’on néglige le terme 2HFinProp/Db devant 2, l’erreur n’est que de 4 ou 5%. Pour des fusées à Distance Balistique plus grande, cette erreur diminue encore. Si l’on admet cette erreur, on peut alors approcher la vitesse VFinProp qui permet à la fusée de monter à une altitude égale à sa Distance Balistique par la loi :

VFinProp ≈ .2,528 Vlim

Que l’on peut également écrire, puisque Vlim = √ [g Db] :

VFinProp .7,917 √Db

On peux également comparer plus simplement l’Altitude Balistiquement Gagnée avec la Distance Balistique. Le graphe suivant donne alors la Vitesse de Fin de Propulsion nécessaire pour qu’une fusée gagne balistiquement  une altitude égale à sa Distance Balistique :

Cette courbe est évidemment la même parabole couchée qu’à l’instant. Son équation est :

VFinProp =.7,917 Db

On voit que la possibilité de s’élever à sa Distance Balistique est réalisable par des fusée de faibles Distances Balistiques, en particulier par notre fusée à eau type pour laquelle ce critère se monte à 75 m. Mais il faudra alors que la pression de lancement soit assez forte pour produire une Vitesse de Fin de Propulsion de presque 70 m/s (les risques d’explosion sont alors grands [48]).

Au demeurant, cette information aurait pu être tiré de l’un de nos premiers graphes montrant la famille de courbes qui prédisait l’Altitude selon la Distance Balistique pour un jeu de Vitesse de Fin de Propulsion. Il suffisait d’y rajouter une droite y = x traduisant l’égalité entre l’Altitude Balistiquement Gagnée et la Distance Balistique (ici en vert fluo) :

Ce graphe confirme bien qu’une fusée à eau type de 1,5 L et de 75 m de Distance Balistique a besoin d’une Vitesse de Fin de Propulsion dépassant de ~3 m/s celle qui génère la courbe orange (soit 65 +3 m/s) pour s’élever balistiquement à sa Distance Balistique

Les parties situées à la droite des deux graphes précédents nous enseignent que les fusées à eau de plus longue Distance Balistique (Cx plus faible ou Masse à Vide plus forte à Cx constant)(cas des fusées allongées) ne peuvent plus prétendre à cette particularité de se hisser balistiquement à une altitude égale à leur Distance balistique (puisque ces fusées à eau plus fines ou allongées n’en produisent pas pour autant des Vitesses de Fin de Propulsion plus grandes) [49] .

ABAQUE D’ESTIMATION DE L’APOGÉE SELON LES MESURES DU VOL

Les fonctions analytiques donnant le Temps de Retour au Sol (TRaS) et la Date de Culmination étant connue, on est en droit de se demander si la mesure de ces deux temps lors d’un vol réel de fusée peut conduire de façon univoque à la connaissance de la hauteur atteinte.

En effet, ainsi que le montre le graphique Altitude Instantanée selon Temps (déjà présenté plus haut), il existe un décalage entre la moitié du temps total de vol (la moitié du TRaS) et la date d’apogée. On observe ce laps de temps entre les deux segment verticaux jaune ci-dessous :

Ce Décalage Sommital (appelons-le ainsi), qui s’exprimera bien-sûr en secondes, semble être représentatif de la présence de l’atmosphère, puisque en l’absence d’atmosphère, il n’existe pas….

On peut donc avoir l’idée de collecter ses valeurs pour l’ensemble des configurations de vols que nous étudions (dans les plages usuelles qui nous sont coutumières), càd pour toutes les valeurs de la Vitesse de Fin de Propulsion (nommée Vitesse Initiale ci‑dessus) et pour toutes les Distances Balistiques [50]  :

On est alors au regret de constater qu’il existe autant d’écarts sommitaux qu’il y a de Vitesses de Fin de Propulsion : on a donc l’intuition que, malheureusement, la relation Écart Sommital – Altitude Balistiquement Gagnée n’est pas univoque

Pour autant, on peut espérer quand-même que chaque couple (TRaS– 0,1)Écart Sommital soit lié de façon univoque aux autres paramètres du vol.

Le récollection de ces couples pour, par exemple, chaque Distance Balistique, n’est pas difficile. Voici le graphe qui en est issu :

 Attention : ajouts sous Word

40 m/s

F65 m/s

 

Cette famille de courbe est très intéressante par le fait qu’on devine que pour chacune de ces courbes les Vitesses de fin de Propulsion les plus faibles sont en bas et les plus fortes en haut (ainsi qu’on l’a indiqué pour la troisième courbe à partir de la gauche). On en déduit très vite que l’on pourrait ainsi graduer sur chacune des courbes l’échelle des Vitesses de Fin de Propulsion.

Mieux encore, comme l’on sait qu’un couple Vitesse de fin de PropulsionDistance Balistique détermine à lui seul  l’Altitude Balistiquement Gagnée [c’est le sens de l’équation (21)], l’on pressent que l’on va pouvoir tracer les Altitudes Balistiquement Gagnées sur le même graphe.

Voilà ce travail de récollection. Rappelons qu’il est effectué sur la foi de notre analyse mathématique de la phase balistique d’une fusée soumise à la gravité terrestre et freinée dans sa traversée de l’atmosphère selon le carré de sa vitesse : tous ces calculs sont donc fait sans référence aux paramètres régissant le profil de la phase propulsive (seule rentre donc en compte les conditions terminales de la phase propulsive, telles que Vitesse de Fin de Propulsion et au besoin Altitude de Fin de Propulsion, conditions terminales qui sont les conditions initiales de la phase balistique).

Nous avons choisi d’utiliser ici comme entrées :

èEn abscisse, le Temps de Retour à l’Altitude de Fin de Propulsion (TRAFP), durée mesurée en arrêtant le chronomètre à l’instant où la fusée repasse à son Altitude de Fin de Propulsion

.èen ordonnée, l’Écart Sommital, différence entre la moitié du TRAFP et le Temps Balistique de Culmination (TBalCulm , qui est le temps que met la fusée à s’élever depuis son Altitude de Fin de Propulsion jusqu’à son apogée), soit :

 

Écart Sommital = TRAFP / 2 – TBalCulm

Ces entrées nous paraissent sérier au mieux le problème de la balistique d’un projectile à SCx constant qui est traité ici :

Attention, beaucoup d’ajout dans Word !

TRAFP

  45 m/s

55m/s

Hauteur de Culmination,

Distance Balistique et VFinProp

selon TRAFP et Écart Sommital

Apogée 100 m.

F S D. Wheeeler

Apogée 50 m

F S D. Wheeler

60m/s

40m/s

50m/s

100m

90m

80m

70m

60m

50m

40m

 

Soulignons à nouveau que cet abaque-roi est l’aboutissement de calculs uniquement balistiques :

–Les courbes rouges quasi verticales représentent les Hauteurs Balistiquement Gagnées de valeurs rondes (30m, 35m, 40m). Les bulles rouges précisent ces valeurs rondes pour la moitié d’entre elles.

–En violet sont les courbes de Vitesses de Fin de Propulsion, repérées également pour moitié.

–L’éventail de courbe de couleurs variées représente toujours les différentes Distances Balistiques .(DB = 35m , DB = 45m , etc…)…

–Le tracé jaune reproduit, pour exemple, le vol d’une fusée type de 75m de Distance Balistique, qui serait animée en Fin de Propulsion d’une vitesse de 55 m/s  [51].  Corriger pression scolaire dans note de bdp . On voit que ce couple de paramètres définit parfaitement un point et un seul sur le graphe (au croisement de la courbe bleue pâle des DB = 75m et de la courbe violette des 55m/s. Les deux segments jaunes donnent 7,1’’ de TRAFP et 0,48’’ d’Écart Sommital.

–Les pointillés gris verticaux représentent le pronostic d’altitude que l’on peut émettre à partir de la formule simplifiée de Dean Wheeler, à savoir :

Zap = 1,23 TRaS² – 0,5(HfinProp+3)

 

Mais appliquée ici en prenant HfinProp = 0, ce qui donne :

Zap = 1,23 TRaS² – 1,5

Nous devons reconnaître que nous avons été conforté dans ce travail de récollection par le fait que le grand Dean Wheeler avait établi, dans une de ces publications [52], un jeu de courbes donnant Altitude, Vitesse de Fin de Propulsion et Hauteur d’Apogée d’après le Temps de Culmination et un Écart Sommital proche du nôtre : nous savions donc que le problème avait une solution et ce n’est pas rien !… [53]

Attention cependant à cette complication que l’abaque de Dean Wheeler ne traite pas exactement du même problème que l’abaque généraliste ci-dessus et n’utilise pas non plus les mêmes entrées [54] : Répétons que nous avons préféré faire ici usage de la notion de TRAFP (Temps de Retour à l’Altitude de Fin de Propulsion) parce que cette durée est le paramètre qui série le mieux le problème général. De même nous usons d’un Écart Sommital qui nous semble intuitif et naturel.

Insistons encore sur le fait que cette méthode de détermination des paramètres de vol par abaque vaut pour toutes les fusées à eau (par exemple les fusées mues par une tuyère réduite, ou présentant un volume plus important) ainsi que pour les fusées à feu.

En fait l’abaque concerne tous les projectiles dont on peut prétendre qu’ils sont caractérisés par un seul et unique SCx…  [55]

ANALYSE DE CET ABAQUE

La quasi verticalité des courbes rouges saute aux yeux. Elle signifie que les variations de l’Écart Sommital est finalement de peu d’importance sur la lecture de la Hauteur Balistiquement Gagnée. Ainsi, 5/10’’ de variation dans l’Écart Sommital ne produiront que moins de 2m de différence dans la lecture de l’altitude d’apogée. C’est assez rassurant car ce fameux Écart Sommital n’est pas particulièrement facile à mesurer.

Également, et en gros, 1/10’’ de variation sur le même Écart Sommital produira une variation de 5 m/s sur la Vitesse de Fin de propulsion et de 17 à 35 m de Distance Balistique selon que l’on est à gauche ou à droite du graphique (ce qui fait cependant à peu près 30 % sur la valeur de la Distance Balistique concernée).

La même quasi verticalité des courbes rouges légitime tout à fait les pronostics d’altitude basés sur les équations paraboliques très simplifiées que nous avons évoquées plus haut, par exemple celle de Dean Wheeler (représentée ci-dessus par les verticales en pointillés gris) dont nous rappelions à l’instant qu’elle vaut ici :

Zap = 1,23 TRaS² – 1,5

MÊME ABAQUE POUR LES FUSÉES À EAU ‘‘PLEIN GOULOT’’ DE 1,5L

 

Si un hydrofuséiste désire un abaque propre aux fusées à eau « plein goulot » de 1,5L, nous lui proposons l’abaque vice-roi suivant. Il y est admis que la propulsion s’étend sur 1/10ème de seconde et sur 3m d’altitude (deux paramètres qui sont usuels pour ce type de fusées). Les durées que l’hydrofuséiste devra mesurer sont le TRaS (temps total de vol) et Temps de Culmination (compté ici depuis le décollage de la fusée jusqu’à son apogée). Il en tirera l’Écart Sommital qui nous sert d’ordonnée :

Attention, beaucoup d’ajouts dans Word !

Apogée 100m

F S D.Wheeler

Apogée  50m

F S  D. Weeler

40m/s

60m/s

50m/s

90m

100m

80m

70m

40m

30m

60m

50m

 
 
 

 3

0,1

 

L’Écart Sommital, porté en ordonnée, est ici la différence entre le Temps de Culmination (TCulm , qui est le temps que met la fusée à s’élever du sol jusqu’à son apogée) et la moitié du TRAS. On a donc pour cet abaque :

Écart Sommital = TRaS / 2 – TCulm

Les courbes rouges quasi verticales donnent les altitudes d’apogée depuis le sol.

Nous avons adjoint au graphe les verticales pointillées grises qui présentent les altitudes de culmination calculée par la formule simplifiée de Dean Wheeler, laquelle doit s’écrire ici sous sa forme générale :

Zap = 1,23 TRaS² – 0,5(HfinProp+3)

Force est de constater que ses pronostics sont très voisins des courbes quasi verticales rouges.

Les fuséistes qui disposent de moyens de mesurer la vitesse de crash de la fusée (vidéo ou système doppler) apprécierons peut-être le dernier graphe ci-dessous, où nous avons juste rajouté les courbes bordeaux qui signalent les vols où la fusée se hisse (par rapport au sol) à 0,5 , 0.75 , ou 1 fois sa Distance Balistique :

Nombreux ajouts dans Word !!!

Apogée 100m

F S D.Wheeler

Apogée  50m

F S  D. Weeler

Hculm =

0,5 DB

Hculm =

1 DB

Hculm =

0,75 DB

60m/s

50m/s

40m/s

80m

70m

60m

50m

40m

30m

90m

100m

 

3

0,1

 

Il est rassurant de constater que ces courbes bordeaux passent aux croisement des courbes des Distances Balistiques et des quasi verticales rouges.

Il faut se souvenir que pour ces apogées particulières la Vitesse de Retour au Sol (VRaS)est égale à :

pour Hap = 0.5 DistBal    : VRaS = 0,7950 Vlim

 

pour Hap = 0.75 DistBal  : VRaS = 0,8814 Vlim

 

pour Hap = 1 DistBal       : VRaS = 0,9299 Vlim

si Vlim est la Vitesse Limite ou Vitesse de Chute Stabilisée

Ces deux derniers abaques supportent la comparaison avec celui de Dean Wheeler : ils donnent les mêmes résultats pour ces fusées de 1,5L présentant une phase propulsive de 3m et 0,1’’.

Cette convergence entre gens bien élevés est satisfaisante.

Au demeurant, les équations qui président à ces calculs balistiques sont assez simples, finalement, [56]et ne prêtent pas à interprétation. Elles sont, dans la langue d’Excel :

Temps de Culmination

 

TCulm =

TFinProp+RACINE(DistBal/G)*ATAN[(VFinProp / RACINE(DistBal*G)]

Temps de retour au Sol

 

TRaS =

TCulm +RACINE(DistBal/G)*LN[EXP((HBalGagn+HFinProp)/DistBal)+

RACINE(EXP(2*(HBalGagn+HFinProp)/DistBal)-1)]

avec HbalGagn = Altitude Balistiquement Gagnée =

=(Distbal/2)*LN[1 + VFinProp^2/(G*Distbal)]

Dean Wheeler propose une autre formulation du TRaS :

TRaS  = Tculm + RACINE(DistBal /G)*ATANH[–VRaS/RACINE(G* DistBal)]

VRaS est la vitesse de retour au sol, dont la valeur est :

VRaS=

–RACINE(G*DistBal)*RACINE[1-EXP(–2*G*(HBalGagn +HFinProp)/(G*DistBal))]

Un autre expression est encore possible, qui ne passe pas par cette VRaS. C’est :

TRaS  =

TCulm +0,5*RACINE(DistBal /G)*

LN((1+RACINE(1-EXP(-2*(HBalGagn +HFinProp)/DistBal)))/

(1-RACINE(1-EXP(-2*(HBalGagn +HFinProp)/DistBal))))

Les différentes écritures produisent évidemment les mêmes résultats…

LOI D’ALTITUDE EN FONCTION DE LA PRESSION RELATIVE DE LANCEMENT

Rappelons que notre travail « Propulsion de la Fusée à Eau » [57] aboutit à une loi simple donnant ,conformément à la formule classique de Tsiolkovski, la vitesse acquise en fin de propulsion en fonction de la Vitesse d’Éjection Initiale de l’eau, du classique Rapport de Masses de l’engin, mais également du Quota d’eau et de la Masse à Vide de la fusée et de sa pression de lancement Pinit. [58]

Voici cette loi dans la dernière partie de laquelle on reconnaît la formule de Tsiolkovski (soulignée en bleu) :

VFinProp ={ – [0,76963 + 0,1327(Pinit + 0,41/MàV)]Qeau  + 0,9599 + 0,083(Pinit + 0,41/MàV)}

*VéjectInit*Ln{( MàV + 1,5 Qeau )/ MàV }  

Cette loi valant pour une fusée de 1,5 L doté d’une tuyère de 21,7 mm, compte tenu de la hauteur de la colonne d’eau et de la propulsion due à l’air, pourvu que la Pression Initiale Pinit soit exprimée en bars relatifs [59] , la Masse à Vide en Kg et Qeau en fraction du volume total pressurisé de la fusée.

Pour une fusée à eau type de 0,1 kg de Masse à Vide et disposant sur le Pas de Tir d’un Quota d’eau  de 0,333 , cette loi se simplifie en :

VFinProp =( 0,8623+0,0387666*Pinit)*VéjectInit*1,79176  [60]

Si l’on se souvient que la Vitesse d’éjection initiale de l’eau est VéjectInit  0,95 √200 Pinit, du moins si l’on exprime la Pression Initiale Pinit en bars relatifs [61] , on possède une loi de vitesse de fin de propulsion par rapport à la Pression de Lancement Pinit :        

VFinProp =( 0,8623+0,0387666*Pinit)* 0,95 200Pinit\ *1,79176

dès lors que Pinit est exprimé en bars

 soit :

(Équation 50) :

VFinProp = 20,757587*√Pinit + 0,9332031 (Pinit)3/ 2

loi valable pour une Masse à Vide de 0,1 kg, et un Quota d’eau de 1/3, sur une fusée de 1,5L plein goulot.

Exemple numérique :

La Vitesse de Fin de Propulsion ainsi calculée est bien de 56,85 m/s pour une pression relative de 5 bars, 72,20 m/s pour une pression relative de lancement de 7 bars et 95,15 m/s pour 10 bars relatifs.

La loi d’altitude selon la Pression Initiale de Lancement peut alors être tirée de l’équation (50) qui précède et de l’équation (21) qui est, rappelons-le :

Ha = Hfinprop + (Db/2) Ln[(1 + Vfinprop²/ gDb

avec HfinProp ≈ 3

On obtient alors la hauteur d’apogée d’une fusée à eau type (1,5 L, 100g , un tiers d’eau, présentant une Distante Balistique de 75 m) et lancée à la Pression Initiale de 5 b relatifs) :

Ha = 66,19m

Ce que confirment évidemment nos abaques pour 56,85 m/s de Vitesse de Fin de Propulsion.…

ADDITIF SUR L’ALTITUDE À ATTENDRE D’UNE FUSÉE À DEUX ÉTAGES

Imaginons une fusée à eau composée de deux étages de même Distance Balistique (près de 75 m) [62] dont chaque étage participe à l’accélération de la charge utile [63] pour 50 m/s (ce qui produit un total de Vitesse de Fin de Propulsion de 100 m/s pour le deuxième étage) (c’est en effet les performances de cet étage ultime qui nous intéresse ici).

Supposons dans un premier temps que la propulsion du deuxième étage est déclenchée sans temps mort juste après que le premier étage ait terminé sa phase propulsive. On peut alors calculer directement l’altitude que le deuxième étage va atteindre balistiquement avec cette Vitesse de Fin de Propulsion de 50 + 50 m/s (en violet sur le graphe ci-dessous ; la courbe bleu clair représente pour comparaison l’altitude balistiquement gagnée à attendre d’une fusée à eau type de même Distance Balistique de ~75 m)  :

On remarque que le deuxième étage de la fusée à deux étages monte à 100 m, soit à peine une altitude double de celle atteinte par notre fusée à eau type à un étage. C’est décevant, surtout si l’on a en mémoire la loi de conservation des énergies d’un corps non soumis au freinage atmosphérique et projeté verticalement :

1/2mV² = mgHa

 

En effet, cette loi nous autorise à écrire que l’altitude de culmination Ha d’un projectile est :

Ha = 1/2V²/g

… et à en déduire que cette altitude quadruple lorsque la vitesse de projection V est doublée : Notre fusée à nous, du fait de l’action de l’air, ne double même pas son altitude de culmination !

C’est encore une autre façon de constater à quel point nos engins se heurtent au mur de l’atmosphère !

Imaginons à présent que nous temporisions le déclenchement du deuxième étage de quelques dixièmes de seconde, en laissant la fusée monter balistiquement sur la vitesse héritée de la propulsion du premier étage (durant ce temps de temporisation, les deux étages de la fusée montent donc solidairement dans le ciel).

Durant le temps de temporisation la vitesse de la fusée solidaire va évidemment diminuer. Rappelons que c’est à cette vitesse diminuée de la fusée solidaire que viendra s’ajoutera la vitesse de propulsion du deuxième étage [64]. On peut cependant imaginer que l’altitude gagnée compensera en partie cette diminution de vitesse : nous cherchons donc à convertir en altitude une partie de la Vitesse de Fin de Propulsion du premier étage plutôt que de la prendre intégralement pour bâtir immédiatement dessus une plus grande vitesse du deuxième étage…

Sur le graphe ci-dessous, nous avons dessiné en bleu la courbe Altitude Balistiquement Gagnée par la fusée solidaire[65] ceci selon le temps passé après la fin de propulsion du premier étage, nommé ici ‘‘Temps Balistique du Premier Étage’’[66].

En vert, nous avons dessiné à titre d’exemple la courbe d’altitude instantanée du deuxième étage (de 74,5 m de Distance Balistique) si celui ci a été déclenché après une temporisation de 0,5’’ (altitude selon temps, donc). On remarque, à la naissance de cette courbe, la phase propulsive, en rouge. [67]

On voit que l’Altitude Gagnable (en phase propulsive et en phases balistiques) [68] par le deuxième étage déclenché après 0,5’’  est de 114 m.

Cette altitude de culmination pour cette temporisation est reportée (par l’horizontale jaune) au dessus du moment de déclenchement du second étage (0,5’’).

La courbe verte n’étant pas très utile, nous n’avons pas reproduit toute sa nombreuse famille (une courbe pour chaque temporisation possible), mais nous avons dessinée en violet toutes les Altitudes Balistiquement Gagnables par le deuxième étage seul selon sa temporisation : à titre d’exemple, la longueur du segment vertical jaune représente donc ici l’Altitude Balistiquement Gagnable par le deuxième étage s’il est déclenché après une temporisation de 0,5’’  :

Cette temporisation de 0,5’’ permet donc déjà au deuxième étage d’atteindre 114 m (au lieu de 100 m + ~ 7,05 m)… Attention cependant : pour établir ce dernier graphe, nous avons ajouté l’altitude gagnée pendant la propulsion du second étage(dessinée en rouge), qui est de ~ 7,05 m [69]  : Il faut noter également que, du fait de la temporisation, le vol dure un peu plus longtemps [70] .

Mais la partie gauche du graphe nous apprend qu’en organisant une temporisation de 2 secondes, on peut espérer atteindre plus de 120 m ! [71]

Le bénéfice de la temporisation est donc très net, du point de vue de la durée de vol comme du point de vue de l’attitude atteinte.

D’autant plus que la Distance Balistique d’un ensemble solidaire (Premier étage sec + Deuxième étage Plein) est beaucoup plus forte que les 75 m pris dans cet exemple : elle peut être de 4 à 10 fois plus forte [72] …

Ainsi, la temporisation optimum est de 3’’ pour une Distance Balistique de 4 x 75 m pour l’ensemble solidaire (Premier étage ‘‘sec’’ + Deuxième étage Plein) et de 75 m pour le Deuxième étage sec, configuration sans doute banale [73] que présente le graphe suivant :

La Culmination à 156 m du second étage est à porter au bénéfice et de la temporisation et de la grande Distance Balistique de l’ensemble solidaire (Premier étage ‘‘sec’’ + Deuxième étage Plein)…

La Vras analytique.

On peut avoir le scrupule de calculer la vitesse de crash au sol d’un mobile, selon la hauteur dont il aura chuté. Cette vitesse de crash étant mesurable par des moyens vidéo, elle pourrait alors concourir à déterminer les différents paramètres de nos fusées…

Cette Vitesse de retour au sol  (Vras) sera déduite du quotient Vras/Vlim (rappelons que Vlim est la Vitesse de Chute Stabilisée). Voici la valeur analytique de ce quotient selon la hauteur de chute Hap :

Attention, la barre de la racine carrée est rajouté en dessin : ne rien bouger !

     Vras / Vlim     = 1 –          e(2Hap/Db)                   

                         ( 1 + 1 – e(–2Hap/Db) 

avec :

Db = Distance balistique

Hap = Hauteur d’apogée

On peut noter que ce quotient ne dépends pas de la gravité…

On l’appelle Taux de Stationnarité [74] de la vitesse.

Si l’on préfère, on peut présenter la formule précédente sous une forme compréhensible d’Excel (aux différents type de parenthèses près) : 

Vras/Vlim = 1 – Exp(–2Hap/Db) /{ 1+Racine[1 – Exp(–2Hap/Db)] }

Bien sûr, si l’on appelle τ le rapport Hap/Db , l’écriture de cette formule se fait encore plus simple :

Attention, la barre de la racine carrée est rajouté en dessin : ne rien bouger !

     Vras / Vlim     = 1 –           e–2 τ                

                        ( 1 + 1 – e–2 τ  ) 

avec :

τ = Hap/Db

Les valeurs de ce même taux de stationnarité pour des hauteurs de chute de 1et 2 fois la Distance Balistique en découleront alors logiquement :

Pour Hap = Db : on a : Vras / Vlim   =  0,92987       soit ~ 0,93    

Pour Hap = 2Db : on a : Vras / Vlim   =  0,99080     soit ~ 0,99     

Au passage, on peut remarquer que ces Taux de stationnarité pour des hauteurs de chute d’un certain nombre de fois la Db (1 ou 2, ici) sont des constantes dans tout notre univers, puisque ne dépendant que de e (ce sont Vlim et Db qui dépendent du milieu traversé).

Ceci nous rend solidaires de nos camarades fuséistes extraterrestres…

Bernard de Go Mars !

Septembre 2005


[1] Nous utilisons ici le terme ‘‘massique’’ pour exprimer le fait que l’objet est doté d’une masse, ainsi que tous les objets qui nous environnent ; à une autre époque on aurait utilisé le terme pesant, parce qu’on faisait la confusion entre masse et poids…

[2] Càd qu’il se présente toujours de la même façon dans la traversée de l’atmosphère, ‘‘son avant restant toujours devant’’, ou moins prosaïquement et par exemple : son axe de symétrie restant toujours tangent à sa trajectoire…

[3] en supposant que cette forme sphérique soit soumise à un seul régime d’écoulement, càd à un seul Cx. On sait en effet que la sphère connaît, pour simplifier, 2 Cx selon le nombre de Reynolds qui caractérise l’écoulement de l’air autour d’elle…

[4] Inutile de préciser que tous ces paramètres doivent être exprimés en unités scientifiques…

[5] ou peut-être, bien avant, les concepteurs de balistes, trébuchets et autres couillards…

[6] Nous disons ici « fusée », mais cette loi vaut pour tout les mobiles aériens, pourvu qu’ils présentent un même S.Cx à l’action de l’air.

[7] Pour cette même raison, le produit (b/g)VfinProp² se doit de ne pas avoir de dimension.

[8] Il semble, d’après une recherche sur le Web que cette appellation n’ait pas été utilisée jusque là. Ce qui est assez curieux.

[9] Nous disons dans le ‘‘milieu traversé’’ parce que ρ intervient dans cette formulation. Si le mobile se déplace dans l’air près du sol, par exemple, on prendra 1,225 Kg/M3 ;  si le milieu est l’eau on prendra 1000 Kg/M3…

[10] Puisque Vlim fait référence à la gravité terrestre… Il faut noter que Vlim varie en fonction de l’altitude parce que la masse volumique de l’air s’amenuise avec cet altitude. Le gravité, quant à elle, varie très peu en fonction de l’altitude, contrairement à une idée reçue qui conduit à penser que les vaisseaux spatiaux sont satellisés parce qu’ils se trouvent hors du champ de gravité terrestre (ce qui n’est absolument pas le cas).

[11] Ce sera le cas pour un projectile de masse très forte, relativement à son SCx. Ceci se produit pour les projectiles de grande taille, puisque, par effet d’échelle, le volume croît plus vite que la section frontale… On peut dire qu’alors la résistance de l’air devient négligeable par rapport à l’action de la pesanteur.

[12] Pour des valeurs de x  proches de 0, le Ln(1+x) est presque nul et sa valeur tend vers x…

[13] Soit que l’on pose l’équation classique h = h0 + v0t – ½ gt²   , soit que l’on constate simplement que Ha = HfinProp +VfinProp²/2g  énonce la loi de conservation des énergies cinétique et potentielle…

[14] La Distance Balistique peut alors représenter la distance ‘’meurtrière’’ d’un projectile, distance au delà de laquelle ce projectile perd une portion donnée de son pouvoir de nuisance…

[15] soit que cette gravité n’existe pas (bulle d’atmosphère dans l’espace) soit que cette gravité soit compensée.

[16] D’une façon plus générale, à toutes les fois qu’il parcourra à nouveau cette distance balistique sa vitesse sera divisée par e. On peut démontrer cependant que cette série n’est pas convergente et que le projectile continue indéfiniment d’avancer, fut-ce très lentement…

[17] Nous avons écrit « une atmosphère » car la nature de cette atmosphère n’est pas précisée dans cette définition. Par contre, la densité de l’atmosphère influera sur la Distance Balistique du projectile.

[18] De tel phénomènes se caractérisent par une équation différentielle du type

 dy/dx = Ky

, la variable x pouvant être le temps ou une autre variable, comme la distance dans notre exemple.

[19] L’Encyclopédie Universalis indique : Pour un train roulant à 300 km/h, environ 90 p. 100 de la résistance totale provient de la traînée aérodynamique. (article ‘‘Aérodynamique’’)

[20] Le diamètre de cette fusée à eau type de 1,5L est de 83mm.

[21] Les autres paramètres, comme la densité de l’air étant considéré comme invariables…

[22] Au demeurant, on peut dériver cette valeur de HBalGagn  par rapport à la Distance Balistique pour prouver que la courbe en est toujours croissante, à Vitesse de Fin de Propulsion inchangée…

[23]Notre adaptation de la formule de Tsiolkovski consiste à la pondérer d’un coefficient Kadiab , coefficient que nous sommes parvenu à linéariser pour toutes les valeurs usuelles des différents paramètres. La formule de Tsiolkovski étendue aux fusées à eau est donc :

 UFinProp = Kadiab VéjectInit Ln{(M+Q)/M}  

 où VéjectInit est la Vitesse d’Éjection Initiale, M est la Masse à Vide ; Q la masse d’appui (la masse d’eau embarquée)

Ce coefficient Kadiab prend en compte la hauteur de la colonne d’eau et la propulsion due à l’air (selon l’impulsion de Bruce Berggren…

D’une façon générale, la simplification de Tsiolkovski qui consiste à négliger le freinage atmosphérique durant la phase propulsive s’avère particulièrement justifiée dans le cas de nos fusées à eau puisque ce freinage atmosphérique ne diminue la Vitesse de Fin de Propulsion des fusées usuelles que de quelque ½ pour cent…

[24] Nous préférons ne pas tenir compte de l’altitude gagnée en phase balistique parce que cette altitude n’est pas calculable aussi mathématiquement que l’Altitude Balistiquement Gagnée. On sait que l’ altitude gagnée en phase propulsive est inférieure à 2 m : on peut donc penser qu’elle varie de moins d’un mètre dans la plage des masses que nous étudions ici…

[25] Le Quota d’eau utilisé est le Quota très usuel du tiers du volume de la fusée…

[26] Mais on peut tenir compte également de la variation selon la Masse à Vide, en utilisant la linéarisation :

Impulsion = (0,0055*Pinit+0,0352)*MàV+(0,0167*Pinit+0,1062)

Cette linéarisation donne un résultat juste à moins de 1% près…

[27] Masse à Vide pour que cette fusée atteigne balistiquement la plus grande altitude. Mais nous savons que l’altitude atteinte au terme de la phase propulsive est très faible. Sa variation ne peut donc excéder 1m dans la plage de masse que nous considérons ici…

[28] Rappelons que Db = 2M/ρ S Cx . On a donc également M = 0,5 Db ρ S Cx , càd que pour chaque Distance Balistique on a proportionnalité entre M et Cx.

[29] Les calculs sont toujours fait d’après la linéarisation de notre travail La Propulsion de la Fusée à Eau.

[30] Cette altitude de Fin de Propulsion s’avère très peu dépendante de la Pression Initiale. Ceci est dû au fait que lorsque celle-ci est plus forte l’altitude de la fusée s’accroît plus vite mais également l’eau est chassée plus rapidement. Par contre elle dépend évidemment de la Masse à Vide de la fusée et du Quota d’eau qu’elle emporte (souvent 1/3, cependant)…

[31] On peut ainsi estimer assez précisément cette altitude comme le produit de la Vitesse de Fin de propulsion par le Temps de Propulsion pondéré par le coefficient 0,41, ainsi que nous l’indiquerons au chapitre consacré à la temporisation d’une fusée à deux étages…

[32] Ce dixième de seconde est le temps qu’il faut à une fusée type pour atteindre l’altitude de Fin de Propulsion, puisque nous avons commencé le décompte des temps à cette altitude…

[33] Attention : Dans Chute de la Fusée, Fred Cerutti donne à l’acronyme TRAS le sens de « Temps de retombée depuis la culmination ». Nous lui donnons ici le sens de « Temps total de vol, depuis le lancement jusqu’au crash final sur le sol »

[34] à laquelle il conviendra d’ajouter l’altitude de Fin de Propulsion pour obtenir l’altitude de Culmination.

[35] Ce Temps de Retour au Sol – ~ 0,1’’ est ici le temps du vol depuis l’altitude de Fin de Propulsion jusqu’au crash au sol. Il n’intègre donc pas le temps nécessaire pour monter à l’Altitude de Fin de Propulsion (réputé être inférieur au dixième de seconde pour une fusée 1,5L type). Mais il intègre bien le temps nécessaire pour passer, en fin de redescente, de l’altitude de Fin de Propulsion (que nous avons prise à 3m) jusqu’au sol.

[36] Du moins sur la plage qui nous intéresse dans ce texte. L’extension de cette plage (en particulier au Fusée à feu (telles que Microfusée, Minifusée et Fusex) pourrait faire l’objet d’un travail annexe…

[37] Rappelons que seuls ces deux paramètres rentrent en jeu durant le vol d’une fusée (ou éventuellement d’un corps quelconque) à faible altitude au dessus de planète.

[38] Cela fait quand même 4% pour l’altitude la plus basse, mais s’il s’agit d’estimer une altitude, c’est acceptable…

[39] à laquelle il conviendra d’ajouter l’altitude de Fin de Propulsion si l’on désire connaître l’Altitude de Culmination.

[40] Nos propositions de courbe étant au milieu du sandwich de courbes qui est épais de 2m, elles ne peuvent entraîner qu’un mètre d’erreur. D’autre part, on voit qu’elles calquent très bien avec la courbe la plus basse…

[41] ‘‘Temps de Retour à l’Altitude de Fin de Propulsion’’. Ce temps est donc un peu plus court que le TRaS et que le (TRaS – ~ 0,1’’)

[42] et donc pour les fusées à feu, plus massiques et de plus fins diamètres…

[43] Ce travail reste à faire…

[44] dans le cas de tirs non verticaux, la courbe ‘‘sans freinage atmosphérique’’ dessinerait cependant une parabole dans le deux cas…

[45] Cette valeur est tirée simplement de notre équation (20).

[46] Nous venons donc de transgresser nos hypothèses de réflexion qui nous contingentaient dans l’aérodynamique subsonique

[47] Il faut également tenir compte que les fusées de LaBulle sont dotées de petit culot, ce qui peut leur conférer un Cx plus faible que le fatidique 0,4 des fusées sans rétreint arrière (càd dont le fuselage garde le même diamètre jusqu’à la tuyère).

[48] Ce chiffre sous-entend une pression de lancement de ~10 bars.

[49] La Vitesse de fin de Propulsion dépend surtout de la Pression Initiale de l’air et du Rapport de Masses de la fusée. Ce rapport de Masses est plus favorable à la prise de vitesse quand la Masse à Vide est plus faible. Malheureusement, cette diminution de la Masse à Vide produit également l’effet de diminuer la Distance Balistique !… Quant à la Vitesse de Fin de Propulsion, nous mettons la dernière main à un texte (Propulsion de la Fusée à Eau) donnant ses valeurs d’après les différents paramètres…

[50] Ce sont les deux seuls paramètres qui comptent, on le sait, dans un vol balistique sur notre planète…

[51] …cette Vitesse de Fin de Propulsion découlant d’un lancement en milieu scolaire à ~5 b relatifs de pression…

[52] Analytical equations for water-rocket motion

[53] Mais du même coup, notre plaisir de la découverte s’en est trouvé amoindri…

[54] Son abaque est plus proche des deux abaques qui suivent, mais il a choisi comme entrée un ‘‘Écart’’ défini comme le double de notre Écart Sommital…

[55] Le grand Dean fait remarquer cependant que le Cx décroît normalement lorsque la vitesse augmente et que cela affecte les résultats pour quelques pour cent…

[56] quand on a fait leur connaissance…

[57] Publication à venir…

[58] En fait nous n’avons réaliser une pondération de la célèbre formule de Tsiolkovski pour l’adapter à nos fusées à eau. Le coefficient de pondération varie légèrement autour de 1 en fonction de Quota d’eau, Masse à Vide et pression de lancement Pinit.

[59] Cette formule est nécessairement empirique !

[60] puisque Ln(6) = 1,79176.

[61]et si l’on adopte 0,95 comme coefficient d’éjection . Ce coefficient d’éjection est le coefficient qui pondère le calcul théorique pour tenir compte des pertes en frottements lors de l’éjection de l’eau, puis de l’air.

[62] On verra que la Distance Balistique de l’ensemble (Premier étage, phase propulsive achevée) + (Deuxième étage avant phase propulsive), ces deux étages étant encore solidaire, est bien plus importante que celle du deuxième étage seul…

[63] S’il en est une, ou de la seule carcasse vide du deuxième étage…

[64] Comme dans toute cette étude, nous négligeons le freinage atmosphérique durant les très brèves phases propulsives…

[65] cette fusée solidaire étant supposée posséder une Distance Balistique de 74,5m.

[66] Attention, après déclenchement du deuxième étage, la courbe bleue n’est plus représentative du vol de la fusée ‘‘solidaire’’ puisque le second étage s’est détaché !

[67] Cette courbe est dessinée grossièrement, à partir d’un temps de propulsion classique de 0,1’’ et d’une hauteur gagnée pendant cette phase propulsive calculée d’après les vitesses initiale et finale de cette phase propulsive, en tenant compte de la creuseté de la courbe de la vitesse instantanée (voir plus loin)…

[68] qu’on nous pardonne de l’avoir nommée ‘‘Balistiquement Gagnable’’ sur le graphe : la progression en altitude durant la phase propulsive n’est pas très importante, mais comme elle diminue à mesure que la temporisation augmente, nous avons jugé honnête de la prendre en compte…

[69] Cette altitude gagnée durant la phase propulsive du second étage serait de 7,05 m sans aucune temporisation. Du moins si l’on admet notre simplification qui est d’intégrer la vitesse instantanée de la fusée en tenant compte de la ‘‘creuseté’’ de sa courbe par un coefficient d’intégration de 0,41 (si l’accélération de la fusée était constante, le coefficient d’intégration serait de 0,5). Ce coefficient de 0,41 semble prendre assez bien en compte la forme de la courbe de la vitesse instantanée dans le temps qui est due à l’allègement progressif de la fusée (compensé quelque peu par la baisse de la pression de l’air)…

[70] Ce qui présente un intérêt pour l’aspect spectaculaire de l’activité…

[71] la durée sol – culmination s’en trouvant plus longue de deux secondes !

[72] du fait que cet ensemble solidaire est beaucoup plus massique qu’il n’est important en section frontale (à cause de la masse d’eau emportée par le second étage) (souvenons-nous que la valeur de la Distance balistique est proportionnelle à la masse et inversement proportionnel à la section frontale, ceci à Cx constant, ce qu’on peut admettre pour des fusées à étages de silhouettes classiques).

[73]… n’était que pour créer cette Vitesse de Fin de Propulsion le premier étage doit avoir des proportions très grandes (12 L de volume si le deuxième étage est de 1,5 L, ce qui n’est pas souhaitable)(mais beaucoup moins si le deuxième étage n’est que de 0,5 L)

[74] en physique, lorsqu’on étudie un phénomène évolutif tendant à devenir stationnaire, ce taux de stationnarité permet de comparer un paramètre à ce qu’il sera lorsque le phénomène sera devenu stationnaire, càd lorsque tous les paramètres seront devenus indépendants du temps… (voir Chute de la Fusée de Fred Cerutti)

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